【资料图】

下面这道高等数学不定积分，老黄要用三种方法，就是用三个公式来解决它。它是正割八次方，余割四次方，幂积的不定积分。

求∫(secx)^8*(cscx)^4dx.

事实上一般的方法是有的，只是老黄太笨，用不了。才怪！老黄是要卖膏药，推荐自个的笨脑子想出来的三组不定积分公式。一个比一个复杂得离谱。聪明人是看不懂的。不信看完说说你的看法。

如上图，解法一运用的是“正割余割幂积在两个指数中，有一个是偶数时的不定积分公式”。这组公式有两个，分别是正割偶指或余割偶指两种情况。由于这两个指数都是偶数，所以其实一种解法也有两种选择。老黄这里选择按正割升幂，余割降到0次幂的公式。反之也是行得通的。

看不懂是吧？看不懂就对了。证明你是一个聪明人。在《老黄学高数》系列学习视频第282讲，有这组公式的推导。

如上图，解法二运用的是“正割余割幂积在两个指数偶差的不定积分公式”。原理是将指数较大的降幂到两个指数相等，转化成二倍角余割幂的不定积分来求。这个方法在《老黄学高数》系列学习视频第283讲有推导。而余割幂的不定积分公式则在第268讲和第275讲。解法二求得的结果，显然要比解法一简洁很多。

最后是解法三：

如上图，如果说前两种解法的公式都是老黄经过冥思苦想出来的话，那么这最后一个公式，则是老黄埋头憋出来的。也就是说老黄根本没有仔细推导，直接从余割幂的不定积分公式就憋出了这么一个新的公式。不过《老黄学高数》268讲中关于余割幂的不定积分公式的推导方法，和这个公式是没有关系的。只有第275讲的推导方法，才和这个公式有关联。

因为第275讲是通过对余割降到二次幂得到的公式的，相对于奇指数，则是降到一次幂。而解法三的这个公式，则直接降到0次幂(只能偶指数有效)，就得到正割的幂的不定积分。因此，用的是余割的不定积分公式的推导方法，得到的却是正割的幂的不定积分。人要是不笨到一定程度，是很难想明白这样的问题的。因为脑子空空的，没东西烧了，所以才能想明白。聪明人脑子太复杂，会烧坏的。

老黄的文字，是老黄内心的纠结和混乱的体现，有哪些话说得让你不爽的，给你道声歉。老黄在数学中独行，很孤独，你的谩骂对老黄来说，是一种奖赏！